ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΦΗΡΗΜΕΝΗ ΑΛΓΕΒΡΑ- Η ΣΥΜΒΟΛΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ
Ανάμεσα στα 1825 και 1900 , η άλγεβρα και η γεωμετρία υπέστησαν μεγάλες αλλαγές, οι οποίες παρήγαγαν μετά το 1900 μια τελείως διαφορετική προοπτική στη φιλοσοφία και στην πορεία των μαθηματικών. Στο μεγάλο δέκατο ένατο αιώνα οι μαθηματικοί εξοικειώθηκαν με τις ιδέες της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας και τις ιδέες των ομάδων και των σωμάτων (όλα αυτά εμφανίστηκαν την ίδια περίοδο) και αργότερα με τις ιδέες της θεωρίας των συνόλων. Αυτό γέννησε τις πολλές γεωμετρίας επί πλέον της Ευκλείδειας , η οποία προηγουμένως θεωρούνταν σαν η μόνη πιθανή δυνατότητα , τις αριθμητικές και τις άλγεβρες των πολλών ομάδων και σωμάτων , επί πλέον της αριθμητικής και της άλγεβρας των πραγματικών και μιγαδικών αριθμών και τελικά σε νέα μαθηματικά συστήματα π.χ σύνολα εφοδιασμένα με διάφορες δομές τα οποία δεν είχαν κλασσικά ανάλογα. Έτσι στα 1870 εμφανίστηκε μια νέα περιοχή των μαθηματικών , η οποία ονομάζονταν μέχρι τα μέσα του εικοστού αιώνα «η περιοχή των μοντέρνων μαθηματικών». Στην πορεία αυτή τα πρώτα βήματα έγιναν από τους συμβολιστές του Καίμπριτζ με σημείο εκκίνησης τη συμβολική άλγεβρα του George Peacock.
Ακόμα μέχρι τα 1825 ή λίγο μετά , η άλγεβρα δεν ήταν τίποτα άλλο παρά η θεωρία των εξισώσεων , π.χ αχ2+βχ+γ=0, στην οποία τα γράμματα χρησιμοποιούνταν αντί για αριθμούς, και τα σύμβολα όπως + : _ χ, χρησιμοποιούνταν για τις τέσσερεις πράξεις της αριθμητικής. Ο σκοπός της θεωρίας ήταν η γνώση του πως θα επιλυθούν τέτοιες εξισώσεις . Οι τέσσερεις πράξεις γίνονταν όπως από τους μαθητές του Γυμνασίου , λίγο ή πολύ ασυνείδητα, με κινήσεις που φαίνονταν ορθές και φυσικές , με τους νόμους όμως που υποστηρίζουν αυτές τις κινήσεις να παραμένουν στο σκοτάδι. Δεν υπήρχε καμιά σκέψη ότι μια εξ αρχής μελέτη των νόμων ήταν αναγκαία ή ακόμα ότι θα βοηθούσε την ανάπτυξη της άλγεβρας. Η μελέτη των λύσεων των πολυωνυμικών εξισώσεων αναμφίβολα οδηγεί στη μελέτη της φύσεως των ιδιοτήτων των διαφόρων συνόλων των αριθμών , αφού οι λύσεις τους είναι αριθμοί. Άρα η μελέτης του συστήματος των αριθμών ήταν ένα σπουδαίο πεδίο της κλασσικής άλγεβρας. Κι όμως ο αρνητικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί αν και χρησιμοποιούνταν συχνά κατά το 18ο αιώνα αντιμετωπίζονταν με άγνοια ως προς την κατανόησή τους. Είναι παράξενο το ότι ενώ η γεωμετρία από νωρίς στην ιστορία της είχε μετατραπεί σε μια δομή από αρχικές σταθερές προτάσεις (αξιώματα-αιτήματα) και συλλογισμούς που ξεκινούσαν από αυτές (παραγωγική επιστήμη) , η θέση της άλγεβρας όπως και της αριθμητικής ήταν διαφορετική.
…Το πρώτο λάθος στη διδασκαλία της άλγεβρας γίνεται φανερό διαβάζοντας λίγες σελίδες από το πρώτο μέρος της άλγεβρας του Maclaurin. Οι αριθμοί εκεί χωρίζονταν σε δύο είδη, θετικοί και αρνητικοί. Και γίνεται μια προσπάθεια να ερμηνευτεί η φύση των αρνητικών αριθμών με υπαινιγμούς για χρέη (το χρέος είναι αρνητικός αριθμός) και άλλα τεχνάσματα…όταν κάποιος δεν μπορεί να ερμηνεύσει τις αρχές μιας επιστήμης χωρίς αναφορές σε μεταφορές το πιθανότερο είναι να μην έχει σκεφτεί ποτέ επακριβώς πάνω στο θέμα….. Frend
Γνωρίζουμε ο Νεύτων περιέγραφε τους αρνητικούς αριθμούς ως «ποσότητες λιγότερες από το τίποτα» και ο Λάιμπνιτς έλεγε ότι ένας μιγαδικός αριθμός «είναι ένα αμφίβιο, μεταξύ ύπαρξης και μη ύπαρξης» Ο Όυλερ : «ονομάζουμε θετικές ποσότητες αυτές που μπροστά τους βρίσκεται το σύμβολο + και αρνητικές το – Αν και οι κανόνες για το χειρισμό των αρνητικών αριθμών όπως (-1)(-1)=1 ήταν γνωστοί από την αρχαιότητα δεν είχε δοθεί μια δικαιολόγηση στο παρελθόν. Θυμίζει τη γνώση του Πυθαγορείου θεωρήματος πριν τη θεωρητική απόδειξη από τον Πυθαγόρα. Ο Όυλερ έλεγε ότι (-α)(-β)=αβ διότι δεν μπορεί να είναι -α.β αφού αυτό το αποτέλεσμα είχε «δειχτεί» ότι είναι το (-α)β.
Στην Αγγλία μια ομάδα μεταρρυθμιστών του Καίμπριτζ που αυτοαποκαλούνταν «Αναλυτική κοινότητα» κυκλοφόρησαν το δικό τους περιοδικό «Memoirs of the Analytical Society» για να διαδώσουν ό,τι πίστευαν αυτοί ως ριζοσπαστική νέα προσέγγιση στα Μαθηματικά. Οι πιο ονομαστοί εκπρόσωποι της Αναλυτικής κοινότητας ήταν οι Herschre, Babbage, και Ρeacock, ο οποίος στράφηκε προς τα θεμέλια της άλγεβρας. Στο βιβλίο του «Μια πραγματεία στην Άλγεβρα» προώθησε την ιδέα ότι η άλγεβρα αν εξεταστεί σωστά, είναι μια επιστήμη παραγωγική όπως η γεωμετρία, θεμελιώνοντας την αξιωματική σκέψη στην άλγεβρα (αναφέρεται ως ο Ευκλείδης της άλγεβρας). Είναι αυτό που αποκαλούμε σήμερα, συμβολική άλγεβρα.
….η επιστήμη της άλγεβρας μπορεί να θεωρηθεί υπό δύο έννοιες , η μία να έχει σχέση με τις αρχές της και η άλλη με τις εφαρμογές της. Η πρώτη αναφέρεται στην πληρότητά της ως μια ανεξάρτητη επιστήμη. Η δεύτερη στην χρησιμότητα και στην ικανότητά της ως ένα εργαλείο έρευνας και ανακάλυψης , είτε λαμβάνοντας υπ’ όψη τα απλά συμβολικά αποτελέσματα που εξάγονται από τη συστηματική ανάπτυξη των αρχών της είτε την εφαρμογή αυτών των αποτελεσμάτων , με την ερμηνεία τους στις φυσικές επιστήμες…..Peacock
Αρχίζει λοιπόν ένας διαχωρισμός ανάμεσα στη θεωρία και στην πράξη για την άλγεβρα και η θεωρία ανακάλυψε έναν καινούργιο κόσμο, αυτόν των πολλών αλγεβρών των οποίων η αριθμητική άλγεβρα ήταν μια ειδική περίπτωση. Δηλαδή η θεωρία μας παρουσίασε μια νέα γενίκευση!
H ΣΥΜΒΟΛΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ του George Peacock (1791-1858)
Ο Θετικός ακέραιος-πρόσθεση -πολλαπλασιασμός
Ο Θεός έπλασε τους θετικούς ακεραίους, όλους τους άλλους αριθμούς τους έκανε ο άνθρωπος ……Kronecker
Οι άλλοι αριθμοί ονομάζονται τεχνητοί αριθμοί (artificial) είναι οι αρνητικοί, τα κλάσματα , οι άρρητοι και οι φανταστικοί, το α ρ ι θ μ η τ ι κ ό σ ύ σ τ η μ α τ η ς Ά λ γ ε β ρ α ς.
Ο θετικός ακέραιος είναι ένα σύμβολο για κάτι που υπάρχει, είναι πραγματικό –αριθμός του Θεού- είναι το αποτέλεσμα της μέτρησης των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου , όπου μέτρηση είναι μια ένα προς ένα αντιστοίχηση των στοιχείων του συνόλου με τα…δάχτυλα του χεριού μας. Αυτή είναι η πρωταρχική χρήση της λέξης ‘αριθμός’ στην αριθμητική. (Henry Fine : ‘The number system in Algebra’. Η βασική πράξη στην αριθμητική είναι η μέτρηση. Όταν δύο ή περισσότερα σύνολα πραγμάτων ενωθούν ώστε να σχηματίσουν ένα σύνολο , ο θετικός ακέραιος που μετράει αυτό το σύνολο ονομάζεται ά θ ρ ο ι σ μ α των αριθμών των ξεχωριστών συνόλων. Αν το άθροισμα είναι σ, και οι αριθμοί των επί μέρους συνόλων α,β,γ,.. τότε η σχέση μεταξύ τους συμβολικά δίνεται από την εξίσωση σ=α +β +γ+ ... Η πράξη εύρεσης του σ είναι γνωστή ως π ρ ό σ θ ε σ η . Η πρόσθεση είναι συντομευμένη μέτρηση.
Η πρόσθεση υπόκειται στους δύο παρακάτω γνωστούς νόμους (αντιμεταθετικός και προσεταιριστικός )
Ι. α+β=β+α
ΙΙ. α+(β+γ)=α+β+γ
Το άθροισμα των β αριθμών που ο καθένας είναι ο α ονομάζεται γ ι ν ό μ ε ν ο των α,β και γράφεται αβ. Η πράξη με την οποία βρίσκουμε το γινόμενο ονομάζεται π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ό ς.
Ο πολλαπλασιασμός υπόκειται σε τρεις νόμους τους γνωστούς (αντιμεταθετικός , προσεταιριστικός, και επιμεριστικός νόμος για τον πολλαπλασιασμό )
ΙΙΙ. αβ=βα
ΙV. α(βγ)=αβγ
V. α(β+γ)=αβ+αγ
Αριθμητική και συμβολική αφαίρεση: η πρώτη λογική αρχή στα μαθηματικά
Έστω ότι βρισκόμαστε στο σύνολο των θετικών ακεραίων. Το να αφαιρέσουμε τον αριθμό β από τον α σημαίνει να βρούμε έναν αριθμό, στον οποίο αν προσθέσουμε το β θα βρούμε τον α. το αποτέλεσμα γράφεται α-β, εξ ορισμού αυτό πληροί την εξίσωση VΙ. (α-β)+β=α
Προφανώς αφού στο σύνολό μας δεν υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί, δεν γνωρίζουμε τίποτα γι’ αυτούς, η αφαίρεση είναι δυνατή μόνο όταν ο β είναι μικρότερος του α και μόνον τότε.
Η σχέση VI με την προϋπόθεση ότι α>β είναι ο αριθμητικός ορισμός της αφαίρεση.
Σε αντίθεση με την πρόσθεση , σε κάθε εφαρμογή της πράξης αυτής πρέπει να προσέχουμε το σχετικό μέγεθος των αριθμών που εμπλέκονται, αφού αυτό που γνωρίζουμε μέχρι στιγμής είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων.
Ακόμα βάσει του ορισμού της, έχουμε έναν θεμελιώδη νόμο της αριθμητικής αφαίρεσης (της αφαίρεσης όπου α>β)
VΙΙ. Αν α+γ=β+γ → α=β
Με βάση τους θεμελιώδεις νόμους I- VII και τον ορισμό της αφαίρεσης έχουμε τις τυπικές ιδιότητες (πορίσματα ) της αριθμητικής αφαίρεσης
1. α-(β+γ)=α-β-γ=α-γ-β
2. α-(β-γ)=α-β+γ
3. α+β-β=α
4. α+(β-γ)=α+β-γ=α-γ+β
5. α(β-γ)=αβ-αγ
Για παράδειγμα η 5. αποδεικνύεται
αβ-αγ=α(β-γ+γ)-αγ ορισμός VI
= α(β-γ) +αγ-αγ νόμος V
=α(β-γ) ιδιότητα 3.
Στις παραπάνω ιδιότητες αν οι τιμές των γραμμάτων ήταν γνωστές, θα μπορούσαμε να ελέγχουμε αν οι αφαιρέσεις ήταν δυνατές και να επαληθεύουμε την ισοδυναμία των δύο μορφών (παραστάσεων) , δηλαδή των δύο μελών των εξισώσεων. Αν όμως σε κάποιον αλγεβρικό υπολογισμό οι τιμές των γραμμάτων ήταν άγνωστες η χρήση της αφαίρεσης δεν ήταν εξασφαλισμένη. Εκτός και αν απελευθερώναμε την αφαίρεση από τους περιορισμούς της οι οποίοι φαίνονται να είναι τόσο σοβαροί.
Το πρόβλημα αντιμετώπισε ο George Peacock και η κύρια ιδέα του ήταν μια αξιόλογη διάκριση ανάμεσα στην αριθμητική και τη συμβολική έκφραση της VI και γενικώτερα ανάμεσα στην αριθμητική και τη συμβολική άλγεβρα. Στο βιβλίο του «Πραγματεία στη άλγεβρα» ο Peacock περνάει από την αριθμητική άλγεβρα στη συμβολική άλγεβρα με τον ακόλουθο τρόπο:
Η συμβολική άλγεβρα υιοθετεί τους κανόνες της αριθμητικής άλγεβρας αλλά εξαλείφει όλους τους περιορισμούς τους. Έτσι η συμβολική αφαίρεση διαφέρει από την ίδια πράξη στην αριθμητική άλγεβρα στο ότι είναι δυνατή για όλες τις τιμές των συμβόλων (αριθμών) ή για όλες τις εκφράσεις που παρουσιάζονται. Όλα τα αποτελέσματα της αριθμητικής άλγεβρας που παράγονται από την εφαρμογή των κανόνων της και τα οποία είναι γενικά στον τύπο αλλά ειδικά στην τιμή, είναι αποτελέσματα επίσης της συμβολικής άλγεβρας όπου είναι γενικά στην τιμή όπως και στον τύπο…..έτσι είναι δυνατόν να αποβεί θεμελιώδης μία επιστήμη συμβόλων και των συνδυασμών τους με βάση τους δικούς τους κανόνες η οποία θα μπορούσε να εφαρμοστεί στην αριθμητική και στις άλλες επιστήμες μέσα από την ερμηνεία τους. Αυτό σημαίνει ότι η ερμηνεία θα α κ ο λ ο υ θ ε ί και δεν θα π ρ ο η γ ε ί τ α ι των πράξεων της άλγεβρας και των αποτελεσμάτων της…. Peacock Με αυτή την έννοια η άλγεβρα γίνεται μια παραγωγική επιστήμη, από το γενικό στο μερικό , αφού ερμηνευτούν τα σύμβολα. Οι ιδέες αυτές του Peacock φαίνονται στους ιστορικούς ως η αρχή της έννοιας της αλγεβρικής δομής της αφηρημένης άλγεβρας η οποία αργότερα θα γενικευτεί στην έννοια του μοντέλου από τον Tarski.
Η δικαιολόγηση της επέκτασης των κανόνων της αριθμητικής άλγεβρας στη συμβολική άλγεβρα ονομάζεται από τον Peacock
«α ρ χ ή μ ο ν ι μ ό τ η τ α ς τ ω ν ι σ ο δ ύ ν α μ ω ν μ ο ρ φ ώ ν
, που την περιγράφει ως εξής: (Symbolical Algebra σελ. 54)
Οποιεσδήποτε αλγεβρικές μορφές (παραστάσεις) είναι ισοδύναμες όταν τα σύμβολα έχουν ειδικές τιμές , θα παραμένουν ισοδύναμες όταν τα σύμβολα γενικεύονται στις τιμές τους..
Με την αρχή αυτή ο Peacock θεμελίωσε την ύπαρξη των αρνητικών αριθμών όπως θα δούμε στη συνέχεια, ακόμα έπαιξε ιστορικό ρόλο σε θέματα όπως η αρχική ανάπτυξη της αριθμητικής των μιγαδικών αριθμών (Hankel) και η επέκταση των εκθετικών νόμων από τους θετικούς ακέραιους σε εκθέτες γενικότερου είδους.
Η προσφορά της στο πρόβλημα της αφαίρεσης έχει ως εξής:
Έστω η (α-β)+β=α (1) με τον περιορισμό α>β. Εδώ το α-β είναι ο αριθμός που προστιθέμενος στο β μας δίνει τον α, είναι ο αριθμητικός ορισμός της αφαίρεσης. Αν τώρα σε αυτή θεωρήσω ότι οι τιμές των α, β είναι οποιεσδήποτε , η ίδια αρχή της μονιμότητας των ισοδύναμων μορφών θα μας δώσει ισοδύναμες μορφές, μια νέα (α-β)+β=α μια ισότητα στην οποία εισάγεται πλέον το σύμβολο α-β όπως παλαιότερα εισήχθηκαν τα γράμματα στη θέση των αριθμών μια ισότητα η οποία έχει μια νέα συμβολική σημασία. Μια αριθμητική εξίσωση ήταν μια δήλωση σε όρους του πλήθους των στοιχείων δύο συνόλων και του συμβόλου ( =) ότι αυτά τα σύνολα βρίσκονταν σε μία 1-1 αντιστοίχηση, τώρα γίνεται μια δήλωση της ισοδυναμίας συγκεκριμένων συνδυασμών των συμβόλων – ισοδυναμία με την έννοια ότι ο ένας συνδυασμός μπορεί να αντικατασταθεί από τον άλλο.
Εδώ το α-β είναι ένα σύμβολο που προστιθέμενο στον β μας δίνει τον α. Τώρα έχουμε το συμβολικό ορισμό της αφαίρεσης με βάση την πρόσθεση . Αν θεωρήσουμε σε ισχύ τους ίδιους νόμους στους δύο ορισμούς της αφαίρεσης (αριθμητικό και συμβολικό) τις ιδιότητες δηλαδή 1-5 που βασίζονται στους νόμους I-VII τότε το σύμβολο συμπεριφέρεται με τη λογική του αριθμού. Ότι ίσχυε για τον αριθμό α-β θα ισχύει και για το σύμβολο α-β. Όμως ας προσέξουμε: ο αριθμητικός ορισμός για την αφαίρεση είναι μια ειδική περίπτωση του συμβολικού ορισμού και αποτελεί μια ερμηνεία του όταν α>β.
…Οι νόμοι της ορθής σκέψης εφαρμόζονται εξ ίσου σε απλά σύμβολα όπως στους αριθμούς. Η αρχή της μονιμότητας είναι μια κομψή αρχή από την οποία εξαρτώνται οι υπολογισμοί με τεχνητούς αριθμούς , και η δήλωση της φύσης αυτής της εξάρτησης είναι εξαιρετική …Henry B Fine ‘the number system of Algebra’)
Που ακριβώς στοχεύει η αρχή της μονιμότητας;
Οι αρνητικοί αριθμοί λειτουργούσαν για αιώνες και έδιναν αποτελέσματα. Με τη συμβολική αφαίρεση δεν άλλαξαν τα αποτελέσματα ούτε αυξήθηκαν. Όμως τότε οι αριθμοί απέδιδαν συγκεκριμένες έννοιες του κόσμου, ήταν κέρδος ή ζημία , θερμοκρασίες πάνω και κάτω από το μηδέν κλπ. Τώρα μετατρέπονται σε αφηρημένα σύμβολα. Δεν εκπροσωπούν τίποτα και απευθύνονται μόνο στο νου κι όχι σε εικόνες του κόσμου. Η τάση για νέα αφαίρεση, σημαντικότερη από τις προηγούμενες, είναι φανερή. Η αρχή της μονιμότητας εξετάζει το πώς ο νους θα δεχτεί την ορθότητα των μαθηματικών αποτελεσμάτων για διαδικασίες άσχετες με τη φύση (α-β για α<β) . Τι σημαίνει αυτό για τα μαθηματικά; Αφού τα σύμβολα δεν εκπροσωπούν τίποτα, άρα δεν ενδιαφέρει η φύση τους. Για να δεχτούμε την ορθότητα ή μη των αλγεβρικών αποτελεσμάτων πρέπει να εξετάσουμε σχολαστικά τις πράξεις (τους βασικούς τους νόμους) μέσω των οποίων παράγονται τα αποτελέσματα αυτά, όπως είδαμε να συμβαίνει στην περίπτωση της συμβολικής αφαίρεσης.
Προσοχή: η αρχή της μονιμότητας δεν είναι ένας επαγωγικός συλλογισμός της Λογικής. Είναι κάτι άλλο. Η ισοδυναμία των μορφών προκύπτει από την ταυτότητα των νόμων των πράξεων στους δύο ορισμούς! Αυτό ισχυρίζεται ο Peacock. Είναι η εμφάνιση μιας λογικής, όχι μαθηματικής , θεμελίωσης στα μαθηματικά. Γι αυτό και φαίνεται δυσνόητη. Το αληθές ή ψευδές για την άλγεβρα προϋποθέτει ένα σύστημα νόμων και έτσι αναδεικνύεται η άλγεβρα ως παραγωγική επιστήμη.
….όλες οι διαδικασίες της άλγεβρας πρέπει να βασίζονται σε μια ολοκληρωμένη δήλωση του κορμού των νόμων οι οποίοι αναφέρονται στις πράξεις που χρησιμοποιούνται σε αυτές τις διαδικασίες , χωρίς να χρησιμοποιείται καμία ιδιότητα μιας πράξης αν δεν έχει ληφθεί ως αληθής από την αρχή ή αν δεν προκύπτει ως συμπέρασμα από τους αρχικούς νόμους…P.H.Nidditch
Η συμβολική αφαίρεση είναι αποδεκτή ως ορθή από το νου γιατί πληροί συγκεκριμένους νόμους, αυτούς της αριθμητικής αφαίρεσης οι οποίοι είναι ορθοί. Η ορθότητα για το νου βρίσκεται μάλλον στη δομή παρά στο περιεχόμενο. Νους και ορθότητα όμως σημαίνουν ένα πράγμα: σημαίνουν Λογική. Το αποτέλεσμα είναι μάλλον φιλοσοφικό και η αξία του βρίσκεται περισσότερο στη σύλληψη παρά στις λεπτομέρειες. Η αρχή της μονιμότητας είναι μια λογική αρχή στα μαθηματικά! Η λογική ορθότητα των αποτελεσμάτων της άλγεβρας παράγεται αποκλειστικά από τις πράξεις και τους κανόνες τους, όποιες κι αν είναι αυτές. Όταν αυτές αλλάζουν αλλάζει και η άλγεβρα.
..Η συμβολική άλγεβρα του Peacock ήταν οι απαρχές της ‘αφηρημένης άλγεβρας’ (abstract algebra) η οποία ήταν μια κίνηση από την άλγεβρα ως γενικευμένη αριθμητική σε μια καθαρά τυπική (formal) άλγεβρα. Η συμβολική άλγεβρα υπογράμμισε τη σπουδαιότητα της δομής έναντι του νοήματος και αναγνώρισε αυτό που έχει διατυπωθεί ως αρχή της μαθηματικής ελευθερίας. Η αρχή αυτή υπονοεί ότι η άλγεβρα ασχολείται με αυθαίρετα σύμβολα , άνευ νοήματος , οι μαθηματικοί κατασκευάζουν τους κανόνες χειρισμού τους και η ερμηνεία, ακολουθεί μάλλον παρά προηγείται των αλγεβρικών χειρισμών. (Patricia R Allaire , Robert E. Bradley ‘Symbolical Algebra as a foundation of calculu
Για πρώτη φορά αναδεικνύεται ότι οι μαθηματικές μέθοδοι προϋποθέτουν τη Λογική , διαφορετικά π.χ δεν θεμελιώνεται το αριθμητικό σύστημα της άλγεβρας. Φαίνεται έτσι μια τάση ότι η Λογική θα συνδεθεί με τα μαθηματικά .
Ο Bool ο οποίος ήταν ο ιδρυτής της μαθηματικής λογικής επηρεάστηκε βαθειά από τις ιδέες του Peacock οι οποίες έκαναν δυνατή τη γέννηση των νέων μορφών αλγεβρικών συστημάτων, (με νόμους όχι διαφορετικούς από αυτούς της σχολικής άλγεβρας αλλά που συνέδεαν οντότητες διαφορετικές από τους κοινούς αριθμούς ) και ειδικότερα την άλγεβρα της λογικής…(P.H.Nidditch “the development of mathematical logic” )
Πράγματι στα τέλη του ίδιου αιώνα οι Frege, Peano, Russel, Whitehead, επεξεργάστηκαν βαθειά τις σχέσεις μαθηματικών και λογικής στο φως της καινούργιας τότε θεωρίας συνόλων. Την εξέλιξη αυτή θα τη δούμε στη συνέχεια αλλά το τελικό σκηνικό είναι ξεκάθαρο: μέσα από την αριθμητική πήγαμε στην αριθμητική άλγεβρα, στη συνέχεια στη συμβολική άλγεβρα και από εκεί στην αφηρημένη άλγεβρα κυνηγώντας μια όλο και πληρέστερη ε ν ό τ η τ α τ ο υ «ΛΟΓΟΥ».
Σήμερα η αρχή της μονιμότητας έχει εγκαταλειφθεί , αλλά ακόμα οδηγούμαστε σε αυτή όταν επιχειρούμε να επεκτείνουμε έναν ορισμό με τέτοιον τρόπο ώστε οι περισσότερες ιδιότητες του παλιού ορισμού να διατηρηθούν . Οι συμβολιστές έφεραν την άλγεβρα πιο κοντά στη σύγχρονη έννοια του θέματος, όπου οι αντιμεταθετικοί και προσεταιριστικοί νόμοι της άλγεβρας τονίστηκα με ευκρίνεια.
Παραδείγματα της αρχής της μονιμότητας
1. Στην αριθμητική άλγεβρα όταν α>β, γ>δ μπορεί να δειχτεί ότι
(α-β)(γ-δ)=αγ-αδ-βγ+βδ………..(1)
Η αρχή του Peacock μας λέει ότι η (1) ισχύει για όλους τους ακέραιους (γενικεύουμε την τιμή των συμβόλων). Έτσι αν στην (1) θέσουμε α=γ=0
(0-β)(0-γ)=0-0-0 +βδ άρα
(-β)(-δ)=βδ, ο περίφημος κανόνας των προσήμων , από την αξιωματική αρχή του Peacock.
Ακόμα στην αριθμητική άλγεβρα έχουμε αμ αν =αμ+ν όπου μ, ν θετικοί ακέραιοι. Εφαρμόζοντας την αρχή της μονιμότητας έχουμε
από όπου προκύπτει ότι 
Εδώ η σημασία του (-β)(-δ) και του συμβόλου αp/q παράγονται από τους σταθερούς κανόνες των πράξεων στην αριθμητική άλγεβρα.
Αυτό ήταν και το αδύνατο σημείο της συμβολικής άλγεβρας και της αρχής της μονιμότητας του Peacock: ότι δηλαδή οι πράξεις της αριθμητικής θα ήταν οι μοναδικές που θα επεκτείνονταν στην άλγεβρα . Ενώ το νόημα της αρχής της μονιμότητας ήταν ότι οι κανόνες, ως αυθαίρετες υποθέσεις, καθορίζουν το νόημα των πράξεων, και μπορούν να προσαρμοστούν σε οποιοδήποτε άλλο υποτιθέμενο σύστημα λογικών κανόνων, στην πράξη του Peacock οι νόμοι της συμβολικής άλγεβρας θα παρέμεναν οι νόμοι της αριθμητικής. Δεν μπορούσε να το ξεπεράσει αυτό ο Peacock όταν ξεκινούσε το θέμα. Έτσι ο αμ.αν είναι ο αμ+ν σε κάθε ερμηνεία. Στις επόμενες δεκαετίες οι Άγγλοι μαθηματικοί έθεσαν σε εφαρμογή τις επαγγελίες του Peacock εισάγοντας άλγεβρες που διέφεραν με πολλούς τρόπους από την αριθμητική άλγεβρα.
Τα σύμβολα του μηδέν και των αρνητικών αριθμών.
Μια άμεση συνέπεια του συμβολικού ορισμού της αφαίρεσης είναι η εισαγωγή στην άλγεβρα δύο νέων συμβόλων του μηδέν και του αρνητικού αριθμού, τα οποία συνεισφέρουν σε μεγάλο βαθμό στην απλότητα , στην κατανόηση και στη δύναμη των πράξεων.
Το μηδέν
Αν στη γενική εξίσωση-ορισμό (α-β)+β=α θέσουμε α=β έχουμε
(α-α)+α=α
(β-β)+β=β
Θα δείξουμε ότι α-α=β-β
Πράγματι (α-α)+(α+β)=(α-α)+α+β=α+β νόμος ΙΙ.
Και (β-β)+(α+β)=(β-β)+β+α=β+α νόμοι I. II.
Άρα α-α=β-β νόμος VII.
Το α-α λοιπόν είναι ανεξάρτητο του α και μπορεί να παρασταθεί με ένα σύμβολο ανεξάρτητο του α . το σύμβολο αυτό παριστάνεται με το 0 και ονομάζεται μηδέν. Οι πράξεις για το σύμβολο αυτό ορίζονται κατά τα γνωστά
Π.χ α.0=α(β-β)=αβ-αβ=0 , α+0=0+α=α α-0=α
Ο αρνητικός
Όταν β>α , ας πούμε β-α=δ τότε
α-β=α-(α+δ)=α-α-δ=0-δ
για το 0-δ επιλέχτηκε το συντομότερο –δ που ονομάζεται αρνητικός ενώ ο δ θετικός.
Οι κ α ν ό ν ε ς των υπολογισμών με τα νέα σύμβολα παράγονται εύκολα από τους ν ό μ ο υ ς των πράξεων I-V, VII τον ορισμό VI και τις γνωστές μας ιδιότητες 1-5 .
1. β+(-β)=0
2. α+(-β)=α-β
3. –α+(-β)=-(α+β)
4. α-(-β)=α+β
\](-α)-(-β)=β-α
5. α(-β)=-αβ
6. 7.(-α).0=0
7. (-α)(-β)=αβ
Έτσι οι αρνητικοί αριθμοί και το μηδέν θεμελιώνονται λογικά μέσα από την ερμηνεία αφηρημένων συμβόλων μέσω της αρχή της μονιμότητας .
